O que é trigonometria?

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Artigo publicado em 7/8/2008 03:23:00 na seção Ciência.

Artigo sobre O que é trigonometria?

A trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da matemática que estuda os triângulos, particularmente triângulos em um plano onde um dos ângulos do triângulo mede 90 graus (triângulo retângulo). Também estuda especificamente as relações entre os lados e os ângulos dos triângulos; as funções trigonométricas, e os cálculos baseados nelas. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica.

A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais. A trigonometria é comumente ensinada no Ensino Médio.

Índice

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Sobre a trigonometria

Dois triângulos são ditos similares se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais. O fato crucial sobre triângulos similares é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior que o lado do triângulo similar, então o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.


Usando estes fatos, definem-se as funções trigonométricas, começando pelos triângulo retângulo|triângulos retângulos, triângulos com um ângulo reto (90 grau (geometria)|graus ou Pi|π/2 radianos). O maior lado em um triângulo qualquer é sempre o lado oposto ao maior ângulo e devido a soma dos ângulos de um triângulo ser 180 graus ou π radianos, o maior ângulo em um triângulo retângulo é o ângulo reto. O maior lado nesse triângulo, consequentemente, é o lado oposto ao ângulo reto, chamado de hipotenusa e os demais lados são chamados de catetos.

Dois triângulos retângulos que compartilham um segundo ângulo A são necessariamente similares, e a razão entre o lado oposto a A e a hipotenusa será, portanto, a mesma nos dois triângulos. Este valor será um número entre 0 e 1 que depende apenas de A. Este número é chamado de seno de A e é escrito como \operatorname{sen}(A). Similarmente, pode-se definir o cosseno (ou co-seno) de A como a razão do cateto adjacente a A pela hipotenusa.

Círculo Trigonométrico

Círculo trigonométrico
Ver artigo principal: Círculo trigonométrico

É uma circunferência orientada de raio unitário, centrada na origem dos eixos de um plano cartesiano ortogonal. Existem dois sentidos de marcação dos arcos no ciclo: o sentido positivo, chamado de anti-horário, que se dá a partir da origem dos arcos até o lado terminal do ângulo correspondente ao arco; e o sentido negativo, ou horário, que se dá no sentido contrário ao anterior.

Seno

Ver artigo principal: Seno

Seno é a projeção no eixo vertical do segmento de reta que parte do centro do círculo trigonométrico e vai até a circunferência.


Como o seno é uma projeção, e esta projeção está no interior do ciclo trigonométrico e este possui raio unitário, segue que, \forall x\in\mathbb{R},-1\leq\operatorname{sen}(x)\leq1, ou seja, a imagem do seno é o intervalo fechado − 1,1.

Seno de um ângulo agudo, é a razão entre a medida cateto oposto e a medida da hipotenusa.

Co-seno

Ver artigo principal: Co-seno

Co-seno é a projeção no eixo horizontal do segmento de reta que parte do centro do círculo trigonométrico e vai até a circunferência. Como o cosseno é uma projeção, e esta projeção está no interior do ciclo trigonométrico e este possui raio unitário, segue que, \forall x\in\mathbb{R},-1\leq\cos(x)\leq1, ou seja,a imagem do cosseno é o intervalo fechado − 1,1.


Co-seno de um ângulo agudo , é a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa.

Tangente

Ver artigo principal: Tangente

Tangente é o segmento de reta formado entre o ponto de cruzamento de seu eixo com a reta definida pelo centro do círculo trigonométrico e o ângulo com sua origem.

Tangente de um ângulo agudo, é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente.

Ângulos Notáveis

Utilizando um triângulo equilátero e um quadrado podemos obter os valores de senos, cosenos e tangentes para os ângulos de 30, 45 e 60 graus.

- Obtendo os valores dos ângulos de 30 e 60 graus:

Visualize a imagem a seguir, é um triângulo equilátero e A cortando ao meio o triângulo equilátero, obteremos dois triângulos retângulos com ângulos de 30º e 60º.

Imagem:Triângulo Isóceles Dividido.jpg

Tomando o lado como um Valor Chamado de L, teremos a hipotenusa do triângulo retângulo igual a L a parte cortada como valor L/2 (L dividido por dois) e por Pitágoras chegamos ao valor do outro cateto que será a raiz quadrada de três multiplicada por L e tudo divido por dois, como podemos observar na figura a seguir.

Imagem:Triângulo_Retângulo_em_Função_de_L.png

A partir desse triângulo retângulo obteremos todos os valores notáveis:

Seno 30º = ½; porque L/2 (o cateto oposto) dividido pela Hipotenusa L resulta em ½.

Cosseno 30º = Raiz de 3 dividido por dois; porque o cateto adjacente dividido pela hipotenusa resulta nesse valor.

Tangente de 30º = Raiz de três dividido por Três; Porque raiz de 3 dividido por 2 vezes L tudo isso dividido por L dividido por 2, resultando em Raiz de três dividido por Três.

De Maneira Análoga obtemos o Cosseno e o seno de 60º, descubra-os utilizando a figura anterior.

- Obtendo os valores do ângulo de 45º

Observe o quadrado abaixo, ele foi dividido pela diagonal em dois triângulos retângulos com ângulos de 45º.

Imagem:Quadrado Dividido em dois triangulos retangulos.PNG

No triângulo amarelo podemos descobrir o valor da hipotenusa sabendo o dos lados que serão L, resultando em L MULTIPLICADO pela raiz de dois.(e nao dividido como no desenho!)

Imagem:Triângulo_retângulo_45_graus.PNG

Vamos analisar o ângulo C de 45 graus: O seno de 45 graus será cateto oposto dividido pela hipotenusa resultando em um dividido pela raiz de dois que racionalizado fica raiz de dois dividido por dois, o mesmo ocorre com o cosseno, já a tangente é cateto oposto dividido pelo cateto adjacente que valem L resultando em um.

Algumas relações

 \sin A = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{hipotenusa}}
 \qquad \cos A = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{hipotenusa}}

Estas são as mais importantes funções trigonométricas; outras funções podem ser definidas tomando as razões dos outros lados de um triângulo retângulo, mas podem ser expressas em termos de seno e cosseno. São elas a tangente, secante, cotangente, e cossecante.

 \tan A = {\sin A \over \cos A} = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{cateto adjacente}} 
 \qquad \sec A = {1 \over \cos A}   = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto adjacente}}
 \cot A = {\cos A \over \sin A} = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{cateto oposto}}
 \qquad \csc A = {1 \over \sin A}   = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto oposto}}
O círculo unitário

As razões seno, cosseno e tangente podem ser lembradas por SOH CAH TOA (seno-oposto-hipotenusa cosseno-adjacente-hipotenusa tangente-oposto-adjacente). Veja mnemônicos trigonométricos.

Até então, as funções trigonométricas tem sido definidas por ângulos entre 0 e 90 graus (0 e π/2 radianos) apenas. Usando um círculo unitário, pode-se estendê-los para todos argumentos positivos e negativos (veja função trigonométrica).

Relógio de sol
Relógio de sol

Uma vez que as funções seno e cosseno tenham sidos tabuladas (ou computadas por uma calculadora), pode-se responder virtualmente todas questões sobre triângulos arbitrários, usando a lei dos senos e a lei dos cossenos. Estas leis podem ser usadas para calcular os ângulos restantes e lados de qualquer triângulo bem como dois lados e um ângulo ou dois ângulos e um lado ou três lados conhecidos.

Alguns matemáticos acreditam que a trigonometria foi originalmente inventada para calcular relógios de sol, um tradicional exercício em antigos livros. Isto é também muito importante para a agrimensura.


Teorema de Pitágoras

Ver artigo principal: Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras estabelece que "A soma do quadrado das medidas dos catetos (lados que formam o ângulo de 90°, neste caso a e b) é igual ao quadrado da medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90°, ou c)". Assim: c ² = a ² + b ². Um corolário desse teorema é que se os dois catetos forem de mesmo tamanho, a hipotenusa vale o produto do cateto pela raiz quadrada de 2.

Aplicações da trigonometria

Existem diversas aplicações da trigonometria e das funções trigonométricas. Por exemplo, a técnica da triangulação é usada em astronomia para estimar a distância das estrelas próximas; em geografia para estimar distâncias entre divisas e em sistemas de navegação por satélite. As funções seno e cosseno são fundamentais para a teoria das funções periódicas, as quais descrevem as ondas sonoras e luminosas.

Campos que fazem uso da trigonometria ou funções trigonométricas incluem astronomia (especialmente para localização de posições aparentes de objetos celestes, em qual a trigonometria esférica é essencial) e portanto navegação (nos oceanos, em aviões, e no espaço), teoria musical, acústica, óptica, análise de mercado, eletrônica, teoria da probabilidade, estatística, biologia, equipamentos médicos (por exemplo, Tomografia Computadorizada e Ultrassom), farmácia, química, teoria dos números (e portanto criptologia), sismologia, meteorologia, oceanografia, muitas das ciências físicas, solos (inspeção e geodesia), arquitetura, fonética, economia, engenharia, gráficos computadorizados, cartografia, cristalografia e desenvolvimento de jogos.

Fórmulas Comuns

Algumas equações envolvendo funções trigonométricas são verdade para todos os ângulos e são conhecidas como "identidades trigonométricas". Muitas expressam relações geométricas importantes. Por exemplo, as identidades Pitagoreanas são uma expressão do Teorema de Pitágoras. Aqui há algumas das identidades mais cumumente utilizadas, assim como as fórmulas mais importantes conectando ângulos e lados de um triângulo arbitrário.

Identidades Trigonométricas

Fórmula fundamental da trigonometria e seus corolários

\begin{align}
\operatorname{sen}^2 A + \cos^2 A &= 1 \\
\tan^2 A + 1 &= \sec^2 A \\
1+\cot^2 A &= \csc^2 A \end{align}

Identidades de soma e subtração

\begin{align}
\operatorname{sen}(A \pm B) &= \operatorname{sen} A \cos B \pm \cos A \operatorname{sen} B \\
\cos(A \pm B) &= \cos A \cos B \mp \operatorname{sen} A \operatorname{sen} B \\
\tan(A \pm B) &= \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} \\
\cot(A \pm B) &= \frac{\cot A \cot B \mp 1}{\cot B \pm \cot A}
\end{align}

Fórmulas da duplicação do ângulo

\begin{align}
\operatorname{sen}(2A)&= 2 \operatorname{sen} A \cos A \\
        &= \frac{2 \tan A}{1 + \tan^2 A}\\
\cos(2A)&= \cos^2 A - \operatorname{sen}^2 A \\
        &= 2 \cos^2 A -1 \\
        &= 1-2 \operatorname{sen}^2 A \\
        &= {1 - \tan^2 A \over 1 + \tan^2 A}\\
\tan(2A)&= \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}\\
        &= \frac{2 \cot A}{\cot^2 A - 1}\\
        &= \frac{2}{\cot A - \tan A}
\end{align}

Fórmulas da divisão do ângulo em dois

Note que \pm está correto, isso significa que pode haver qualquer dos dois sinais, dependendo do valor de A / 2.

\begin{align}
\operatorname{sen} \frac{A}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} \\
\cos \frac{A}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} \\\tan \frac{A}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} = \frac {\operatorname{sen} A}{1+\cos A} = \frac {1-\cos A}{\operatorname{sen} A}
\end{align}

Identidades triangulares

As identidades que se seguem referem-se a um triângulo com ângulos A, B e C e lados de comprimentos a, b e c, como na figura ao lado. Repare que o lado oposto ao ângulo A é o de comprimento a, o lado oposto ao ângulo B é o de comprimento b e o lado oposto ao ângulo C é o de comprimento c.

Lei dos senos

A lei dos senos para um triângulo arbitrário diz:

\frac{\operatorname{sen} A}{a} = \frac{\operatorname{sen} B}{b} = \frac{\operatorname{sen} C}{c},

ou equivalentemente:

\frac{a}{\operatorname{sen} A} = \frac{b}{\operatorname{sen} B} = \frac{c}{\operatorname{sen} C} = 2R

Lei dos cossenos

A lei dos cossenos (também conhecida como fórmula dos cossenos) é uma extensão do teorema de Pitágoras para triângulos arbitrários:

c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,\,

ou equivalentemente:

\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\,

Lei das tangentes

A lei das tangentes:

\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan\left\tfrac{1}{2}(A+B)\right}{\tan\left\tfrac{1}{2}(A-B)\right}


\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan\left\tfrac{1}{2}(A+B)\right}{\tan\left\tfrac{1}{2}(A-B)\right}


\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan\left\tfrac{1}{2}(A+B)\right}{\tan\left\tfrac{1}{2}(A-B)\right}


\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan\left\tfrac{1}{2}(A+B)\right}{\tan\left\tfrac{1}{2}(A-B)\right}


\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan\left\tfrac{1}{2}(A+B)\right}{\tan\left\tfrac{1}{2}(A-B)\right}

Ver também

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Ligações externas

Artigo publicado por Diego em 7/8/2008 03:23:00. Os textos aqui publicados são de responsabilidade de seus autores.
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